思辨賽局

•  十個策略故事
• 在賽局中, 需要思考其他參與者如何行動, 以及那些決策如何影響自身的決策
• 如果不是平均分布, 那麼二元搜尋就不是能降低熵值的最好方法
• 當其他參與者需花費資源, 針對自身的最佳策略作應對, 那麼次優策略將主導競爭
• 如同ban/pick
• 在只在意排名的競爭中, 進行模仿常常是領先方的好選擇
• 減少選項, 讓眾人得知自己沒有其他選擇, 有時會改變決策邏輯
• 缺少溝通和互信的囚徒困境, 會讓個體和群體無法走向最有利選擇
• 隨機策略為對手帶來不可預測的風險, 讓部分項目的期望值從0變成非0, 而改變決策
• 資訊不對稱的交易需要額外的規則設定, 才能達到公平
• 策略性思考時, 要考慮其他參與者的想法和相互影響
  
  
• 逆推可解的賽局
• 序列賽局: 參與者輪流出招, 互動逐步發生, 可選選項和選擇公開於所有參與者, 且不受機率影響, 如象棋
• 決策和分支形成決策樹, 多人的決策樹又稱為賽局樹
• 參與者必須推測其他參與者接下來的反應, 並據此盤算當前的最佳行動
• 要決定你現在該怎麼走，你必須先看清賽局的終點，然後一步步往回推算，在每一個決策點上，預判下一位行動者將會做出對他自己最有利的選擇。
• 選擇多不一定有利
• 單人決策中, 越多選擇意味更多自由, 不會對決策者造成傷害
• 多人決策中, 參與者新增的選項, 會影響其他參與者, 改變整個賽局
• 舉例來說, 如果彩券開獎後, 買家多了可以無條件退款的選擇, 那麼不會有商家選擇販售彩券
• 當參與者知道其他參與者的目標時, 這種賽局可以逆推求解
• 實務上,  參與者並不知道其他參與者的目標
• 換言之, 並不是所有參與者都是數學上的理性--只考慮自己最大利益
• 賽局是否只有一次? 決策會不會影響自己形象? 是否匿名
• 社會文化的影響, 公平與慷慨是不是美德, 值得用部分利益去交換, 讓自己順心
• 是否會激怒其他參與者, 而憤怒不理性的對方會有什麼選項
• 另一方面, 在匿名, 去責任化的場合, 好比股市交易, 這是常態
  
  
• 囚徒困境及其解方
• 優勢策略
• 對某個參與者而, 無論其他參與者如何選擇, 他的同一種策略總是優於其他所有可以選策略, 則此策略為優勢策略
• 囚徒困境
• 同步賽局, 參與者不知道其他人的選擇
• 對於單一參與者來說，「背叛」是一個無懈可擊的優勢策略——無論對方合作或背叛，自己選擇背叛的結果都更好。
• 當所有參與者都選擇優勢策略時, 卻讓整體無法達到最大利潤
• 人類演化的方向鼓勵互惠, 即使純粹自利的人, 也知道維持互惠者形象的好處
• 自利的人容易遭受報復
• 在長期的賽局中, 兩個自利的人一樣可能因此保持合作關係
• 只要參與者足夠在乎未來的利益，短期的背叛就不再那麼誘人
• 當匿名性增加, 人們會傾向不合作
• 達成合作的條件
• 適用在公有地悲劇等場合
• 事後的獎勵或是懲罰, 可以視為在原先賽局外, 又加入了更大的賽局與條件
• 對於不合作的行為, 是否有清晰的界定和足以嚇阻的懲罰
• 降低匿名性
• 能夠覺察不合作, 越迅速越準確越好
• 所有人都能清楚的知道誰選擇了不合作
• 成員變動低, 增加彼此互信
• 個體策略:清晰的以牙還牙態度
• 在多次的重複賽局中,  對方上一輪選擇合作, 自己就合作, 上一輪選擇背叛, 自己就選擇背叛
• 策略是清晰, 善意但具備報復性
• 潛在問題是使用同樣策略的人, 如果因誤解造成一方合作一方不合作, 之後會陷入報復循環
• 在現實中, 需要一個"到此為止"的方法
• 如何避免合作
• 適用在避免廠商壟斷市場等場合
• "禁止"懲罰機制, 好比最惠顧客條款
• 最惠顧客條款類似於被動觸發的"不合作", 當對方降價, 己方會自動降價, 從而嚇阻對方進行降價
  
  
• 美麗均衡
• 同步賽局
• 目的是解決"我認為他認為", 這種探討別人怎麼選的循環
• 找出一個狀態, 參與者都會選擇最符合自己利益的選項, 以回應其他參與者的策略
• 每個參與者的行動都是對其他人行動的最佳回應, 而且人人都這樣想
• 類似區域極值, 單一參與者在這狀態下, 修改選項都只會導致利益下降
• 
  
  
  
  
• 40000, 40000是這圖表的奈許均衡
• 只要某個參與者擁有優勢策略，那麼在這個賽局中任何可能存在的奈許均衡裡，該參與者所採用的策略，必定是他的那個優勢策略。
• 一個賽局可以有多個納許均衡
• 讓人留下印象的焦點, 常常可以成為參與者的選擇
• 這讓文化, 歷史, 天性喜好成為潛在影響
• 好比顏色的喜好, 幸運數字
• 不同奈許均衡給不同參與者的利益不等同, 參與者如何溝通和分配以協調賽局又成了新的課題
• 尋找奈許均衡的方式 
• 剔除劣勢策略
• 如果選項A在任何情況都比選項B好, 那麼選項B 相對於A是劣勢策略
• 劣勢策略排除後, 得到新的賽局表, 進行同樣的操作
• 換言之, 只能針對劣勢策略的最佳選項, 這時候被排除
• 如果不存在劣勢策略, 尋找所有參與者皆為最佳回應的狀態
• 奈許均衡與現實
• 參與者少, 越是熟練的參與者, 匿名性高都會讓現實賽局走向奈許均衡
• 當價值觀滲透進賽局, 則會偏離
• 如果參與者想像的是"分配", 那麼公平的價值觀就會產生效應, 在最終通牒賽局產生更慷慨的分配
• 如果參與者想像的是群體, 那麼"我們對抗他們"就會產生效應, 在囚犯困境賽局產生出更多合作
• 奈許均衡考慮的是"我認為你認為..."在無限循環下的固定狀態, 現實生活中, 如果人們無法發現循環結構, 多半只會想到兩到三層
  
  
• 選擇與機會
• 混和策略
• 參與者選擇固定時, 稱為單純策略
• 參與者的選擇是機率分布時, 則為混和策略
• 奈許均衡可以發生在純粹策略, 也可以發生在混合策略
• 在奈許均衡下, 任何單一參與者, 無法藉由更改自己策略的機率分布而獲得額外利潤
• 每個參與者的機率分布都是針對其他參與者機率分布的最佳回應, 而且人人皆這樣想
• 極大極小定理
• 零和賽局, 參與者利益完全對立
• 在最壞的情況中, 尋求最好的結果:
• 對手會採取行動, 讓我方收益期望值極小化
• 我方預期對方的上述行動, 選擇這極小化前提下, 能最大化收益的可能

• 玩家1 / 玩家2	策略 A	策略 B
  策略 1	3	-2
  策略 2	1	5

• 純粹策略
• 玩家1
• 選擇策略1的最壞情況收益是-2
• 選擇策略2的最壞情況是1
• 為了讓最小收益最大化, 玩家1的極大極小策略是策略2, 來自(2, A) 這組合
• 玩家2
• 選擇策略A的最壞情況收益是-3
• 選擇策略2最壞情況收益是-5
• 為了讓最小收益最大化, 玩家2的極大極小化策略是策略A, 來自(1, A)這組合
• (2,A)不等於(1,A) , 這賽局不存在純粹策略的奈許均衡
• 混合策略
• 假設玩家1 以p機率選擇策略1
• 假設玩家2 以q機率選擇策略A
• 玩家2的機率, 由玩家一的期望值決定
• 策略1的期望值: 3q + -2(1-q) = 5q-2
• 策略2的期望值: 1q + 5(1-q) = 5-4q
• 若玩家2要讓玩家1的兩個選擇具備相同期望值, 即玩家1的選擇對賽局無影響
• 令兩者相等 5-4q = 5q-2 
• q = 7/9
• 同理, 玩家1的機率, 由玩家二的期望值決定
• 策略A的期望值:3p+(1-p) = 1+2p
• 策略B的期望值: -2p + 5(1-p) = 5-7p
• 令兩者相等 1+2p = 5-7p
• p = 4/9
• 奈許均衡發生在
• 玩家1以4/9的機率選策略1, 5/9的機率選策略2
• 玩家2以7/9的機率選策略A, 2/9的機率選策略B
• 這時兩方單方面改變機率, 都無法讓自己獲利更多(也不會更少)
• 直觀的觀察
• 如果玩家1強化自己的強項, 好比(1,A)從3變成6
• 玩家2會降低A的選擇 7/9 -> 7/12
• 玩家1會降低1的選擇 4/9 -> 4/12
• 但是整體而言, 玩家1的期望值上升了
• 5-4q : 1.888 變成 2.666
• 強項的威脅性變大，迫使對手改變了防守佈局，從而讓我整體的期望收益上升
  
• 現實生活的考量
• 隨機並非完全隨機
• 賭徒謬誤: 會對隨機有補償的期待
• 可得性偏誤: 對於好想像的最糟情況, 人類會想避開
• 隨機到最冒險的選項時, 可能因為潛在後果而不願意執行
• 這次不算，再來一次
  
  
• 策略行動
• 優秀的策略家，不僅僅是賽局的參與者，更是賽局的設計者。
• 賽局理論告訴我們, 在理性下該做的選擇, 應該做什麼
• 策略行動的目標是改變賽局
• 參與者採取行動, 改變賽局, 讓其他參與者進行其他選擇
• 承諾
• 參與者創造有利條件, 改變其他參與者的選擇
• 創造承諾者無條件的先行動作
• 好比定期定額或定存, 是現在的自己讓未來的自己的財務規劃必須做更保守的選擇
• 威脅與約定
• 參與者提前確定一個回應規則, 穩定有條件的對其他人的選擇進行反映
• 威脅懲罰不遵守的其他參與者
• 約定獎勵那些願意遵守的參與者
• 目的可以是嚇阻其他人不進行某些動作, 或是強迫其他人進行某項動作
• 重點在清晰性與確定性, 以此確立可信度
• 對方要能清楚知道觸發的條件
• 懲罰或獎勵要有可行性和合理
• 邊緣策略
• 故意創造並操縱一個雙方都不想要的, 失控的風險
• 也可讓災難發生的機率逐步升高, 迫使對手因為無法承受這個風險而先行讓步
  
  
• 讓策略可信
• 如果承諾, 威脅和約定不可信, 就無法藉此影響其他參與者
• 如何提高可信度
• 建立聲譽, 由過去表現來支持
• 簽訂合約, 提高違背承諾的代價
• 留意是否讓"再談判"有可趁之機
• 當違背合約所支付的懲罰期望值, 小於進行合約行為的成本時
• 假設違背合約, 有5%的機會要支付100的罰金, 那違反者可能提出以10為代價, 讓監督者忽略這次行為的再承諾
• 如果監督者不會因為違反合約受到任何傷害, 那麼他可能會接受
• 切斷退路, 破釜沉舟
• 透過眾人皆知的沉沒成本, 讓選擇消失
• 切斷聯繫, 停止資訊交流也是可行方式之一
• 好比沒有人會和自動販賣機殺價
• 邊緣策略是這種策略的極端應用, 但過分利用可能破壞關係
• 自動化回應, 設立一個會自動觸發的機制, 如最惠條款
• 授權代理人也有同樣效果, 讓別人代表你的利益, 但不代表你的選擇
• 代理人可以靈活地採用各種策略, 也不至於傷害各方關係
• 將單一賽局轉化成重複賽局
• 如分期支付的工程款
  
  
• 解讀和操縱資訊
• 賽局中, 某些參與者的資訊比其他參與者多, 而這些資訊將影響所有參與者的報酬
• 擁有資訊的參與者想要隱藏資訊
• 其他參與者
• 有時希望資訊公開, 而進行訊號傳遞, 如無罪的被告
• 由「擁有資訊方」主動發起，目的是「證明自己」
• 有時希望資訊隱藏, 而進行訊號隱藏, 如真正的犯人
• 有時希望知道資訊(如法官), 
• 有時希望知道資訊, 但不希望資訊公開(如被告律師)
• 訊號篩選
• 由「缺乏資訊方」主動設計，目的是「分辨他人」。
• 設計一個環境, 區分出擁有不同資訊的參與者
• 擁有不同資訊的參與者, 進行同一行動有不同的報酬
• 理性的參與者有不同的行動, 從而得到額外資訊
• 行為勝於語言, 或是更廣泛的說, 有支出代價的行動為勝於沒支出代價的行動
• 當屬性非二元, 而是有中間值的可能時, 強烈具備屬性的參與者可能拒絕參加代價太小的行動, 因為那些行動屬於稍微具備屬性的人
• 非常有錢的人可能拒絕以普通的名牌展演其身分, 因為普通的名牌屬於普通有錢的中產
• 這和社會學的階級展演有點類似
• 訊號干擾
• 當所有參與者都選擇同種行動時, 這行動就變成完全沒有資訊
• 又稱為訊號傳遞賽局的混和均衡
• 當一種類型的訊號者傳遞了訊號, 另一種沒有傳遞, 則是分離均衡
• 多數場合處於半分離狀態, 我們使用條件機率和貝式定理, 根據現狀不斷更新參與者屬性的機率分布
• 利用資訊篩選進行差別定價
• 不同參與者對於不同商品有不同的接受價格
• 為了讓利潤最大化, 要考慮參與約束(讓參與者的最高價) 和激勵相容約束(一個商品對參與者特別划算, 那麼即使其他商品的價格能被接受, 也不會被選擇)
• 必須巧妙地讓「高支付意願的顧客」自己覺得購買高價版，比購買低價版更划算
  
  
• 合作與協調
• 當競爭的是相對成績而非絕對成績時, 參與者協調, 降低對賽局的投入, 反而有利於整體利益上升
• 參與者利潤來自於減少了對賽局的資源投入
• 這常形成商業聯盟, 好比OPEC 協調產出
• 往往需要有嚇阻力的懲罰, 才能促成聯盟成立
• 賽局的不同選項收益比, 有時會因為參與者的選擇而改變
• 負向網絡外部性, 擁擠賽局:被選擇越多, 則效率越低, 如道路和交通時間, 越多人在路上開得越慢
• 正向網絡外部性: 被選擇越多, 則效益越強, 如社區的居民種族組成, 越多白人的社區越容易成為新白人住民的選擇
• 有些選項不論怎麼被選擇, 效應不變化, 如選擇捷運和交通時間
• 一個賽局由那些選項構成, 決定其均衡點和發展趨勢
• 由選項1和選項3構成的賽局, 常見的均衡點發生在兩個選項的效率等同的分布
• 如果捷運和開車是通勤選項, 均衡點發生在兩者時間花費的分布
  
  
  
  
  
• 這時總通勤時間不是最低
• 通過第三方的政策, 補貼捷運或是收過路費, 讓選擇開車的總成本(時間+錢)上升, 使均衡落在更高的捷運使用率, 從而讓總時間成本下降
• 由兩個選項2構成的賽局, 有機會發生從眾效應
• 這時兩個選項的優劣並不是決定參與者選擇的唯一條件, 還要考慮現有的分布
• 
  
  
  
  
• 均衡點一般有三個
• 兩個在端點的穩定均衡，和一個在中間的不穩定均衡。
• 一旦組成比例稍微偏離中間那個脆弱的平衡點，從眾效應就會像滾雪球一樣，將整個系統推向其中一個極端
• 如果目標是從一端移動到另一端, 第三方可以透過強迫改變初始分布的方式, 一口氣推過中間均衡點
• 如果目標是保持平衡, 則需要透過懲罰或獎勵, 在均衡點附近創造回歸均衡的誘因
• 多選項構成的賽局, 可能不存在均衡狀態
• 滑坡效應
• 一個選項可能不是最佳解, 但是若將它拆成諸多細分的選項, 可能是各階段下的最佳解
• 每個參與者在每個階段都選了最佳解, 最終反而走不到最好的選項
  
  
• 拍賣, 競標與競爭
• 如果商品唯一, 且每個參與者都有獨立判斷的可接受價格, 拍賣系統往往有著優勢策略
• 可以不斷出價的場合, 只要目前喊價低於你的『真實估價』，就繼續跟進；一旦價格超過你的估價，就立刻收手。
• 密封只能一次出價的場合:優勢是選擇以自己認為的第二高價競標
• 維克里拍賣
• 價高者支付次高價得到商品
• 優勢策略是以自己心目中的價位競標
• 線上競標的委託出價可以視為變形
• 現實生活中, 商品可能不唯一, 且參與者沒有明確的估價
• 如果商品不唯一, 即使我接受300的價格, 也不願意我出250, 別人卻用200買到
• 一個參與者的出價會給予其他參與者估價的資訊, 這讓參與者需要隱藏自己的出價, 傾向在最後時刻才進行競標
• 贏家的詛咒
• 在買家提價格, 賣家決定是否接受的場合, 賣家只有在商品價值低於出價的時候才會答應
• 換言之, 若商品價值是個隨機變數, 那麼賣家只有在商品價值小於出價的時候會答應交易, 而與商品價值期望值無關
• 收益等值定理
• 如果估價是私密, 且賽局對稱, 不論是價格上升的拍賣, 價格下降的拍賣, 或是次價拍賣, 賣家通常獲得同樣的金額
• 優勢策略:抱持自己出價最高的信念, 以第二高估價來出價
• 換言之, 有些場合, 需要考慮有多少參與者來決定怎麼出價
• 對於一個在 [a,b] 區間內均勻分布的隨機變數，取 n 次獨立樣本，其最大值的期望值公式為：
• E[Maxn​]=a+(b−a) * (n/(n+1))
• 改變賽局規則不一定能達到效果, 參與者會適應規則, 採取不同方法競標
• 當參與者少的時候, 有機會進行默契合作, 尤其當規則複雜時
• 當參與者不繼續競爭的利潤大於競爭的利潤時, 參與者可能會停止競爭, 而賣家承受損失
• 好比輪流得標的圍標場合
  
  
• 討價還價
• 大原則一樣是向前預測, 向後推理
• 常見場合: 合作利益分配
• 談判者雙方合作有額外利益
• 常見的方式是將合作造成的額外利益公平分配
• 假設麥當勞買大麥克套餐送大麥克
• 大麥克套餐150, 大麥克80
• A想要大麥克套餐, B只想要大麥克
• A,B合購創造了(150+80-150)= 80的利潤, 均分得40
• A出110, B出40
• 參與者如果降低合作的額外收益, 則可在談判中佔優勢
• 好比B如果有大麥克折價券, 只需要60 就可以買大麥克
• A,B和夠創造了(150+60-150) = 60的利潤
• 這時A出120, B出30
• 如果折價券是A擁有的, 則不影響賽局
• 參與者也可以透過傷害其他參與者利益的方式來得到收益
• 好比到有低消和服務費的麥當勞, 這時大麥克套餐155, 大麥克100
• 這時合作利潤為100, A只要支付105
• 換言之, 有著最佳協議替代方案的參與者, 越有談判優勢
• 當利潤隨著合作無法達成衰減, 則形成邊緣策略
• 好比勞資衝突下的罷工, 罷工越久傷害越高
• 有時候, 協議無法達成, 利益損失最大的是不再參與者中的第三者, 如公有地悲劇
• 一般而言, 先提議的一方有優勢
• 當時間成本越低, 還價成本越低, 這優勢越小
• 極端情況, 沒有任何時間成本,則利益趨向均分
• 另一種極端, 最後通牒, 那利益則是單方面通吃
• 時間成本可以是單方的, 一邊很急一邊不急, 則有耐性的一方獲得優勢
• 最常見的時間成本是利率
• 利率分別是1%與2%的A,B, 那麼A的最終報酬會是B的兩倍
• 魯賓斯坦談判模型 (Rubinstein Bargaining Model)」。
• 該模型在數學上證明了，在一個輪流出價的談判中，最終利益的分配比例，會與雙方的「貼現率 (Discount Rate)」（可以理解為不耐煩的程度或時間成本）成反比
  
  
• 投票
• 理想的投票中, 參與者只要坦承的投下自己最佳選擇就好
• 在一對一的投票中, 最高票一定是最佳解, 參與者也沒有坦承投票之外的優勢策略
• 在多人投票中, 即使所有選民的個人偏好都是理性的（具有遞移性），由多數決匯總出的「群體偏好」卻可能是非理性的（沒有遞移性）。  甚至能讓多組候選人能在一對一的投票對決中形成閉環
• 有時, 投票制度成為誰當選的關鍵
• 要選出最少人討厭的?還是最多人第一喜歡的?
• 康多賽投票規則
• 參與者給予喜好的順序, 利用排名模擬各種一對一的對決,
• 選舉的勝出者是獲得最少的最大反對票數的人
• 可以視為大家最能勉強接受的選擇
• 當一個組合結果, 將透過多輪投票決定時, 投票程序將大幅影響結果
• 參與者將向後推理, 在決策樹上導向自己喜好的結果
• 立場選擇
• 在一個多維度分布的凸集中, 考慮坐落於重心的點A, 和任一競爭點B, 那麼至少有1/e ~= 36%的點靠更近點A而非點B
• 直觀的說, 一個基於所有選民的平均立場, 跟其他任意立場, 至少有著36%的支持度
• 2/3 的同意門檻可以保護平均立場
• 策略性投票
• 當參與者認為自己的一票將改變現狀時, 容易造成策略性投票, 讓參與者投下第一喜好者以外的選擇
• 如棄保效應
• 激勵
• 出資方與受雇者的關係中, 出資方無法知道受雇者努力的程度, 只能知道最終結果
• 類似道德風險, 受雇方獲得保障(薪資)後, 減少其行為的謹慎程度(不努力工作), 進而提高風險(增加失敗機率)
• 目標是在固定薪酬和論件計酬之間尋找一個平衡點
• 帶有激勵的合約
• 一般而言, 如果工作結果和努力程度的相關性越大, 激勵能帶來的努力誘因越多
• 獎勵一般是非線性的, 成果越好, 激勵越多
• 門檻制的條件容易造成"到這就好"或是"放棄"的心態
• 激勵合約包含兩個面向:薪資期望值和好壞結果的報酬利差
• 薪資期望值太低, 有逆選擇的風險
• 報酬利差越大, 激勵作用越大
• 激勵制度的各種面向
• 非一次性的常態工作中, 未來加薪/升職是有效的激勵
• 尤其是對剛進入勞動市場者, 但對即將退休者無效
• 工作結果有隨機性但可重複, 則統計成為出資方的工具
• 激勵合約基本上考量兩個數字: 員工努力付出的代價 和 員工不努力要付出的代價
• 兩者皆以期望值表示
• 好比, 一次性支付X的激勵給員工, 而員工努力要付出100的代價, 員工不努力有50%的機會被抓包
• 員工努力的代價:100
• 員工不努力的代價: 0.5 * X
• 0.5X > 100 : X = 200, 最終一次支付300
• 如果修改條件, 變成每年支付, 每年檢查, 因此每年都有10%機會被抓包, 當今利率5%, 每年X相當於20X的現值
• 員工努力的代價:100
• 員工不努力的代價: 0.1 * 20X
• 2X > 100 : X = 50, 最終一次支付150
• 這又稱效率溢價
• 支付更多, 但會在失敗時懲罰受雇者, 讓理性受雇者努力工作
• 多任務的場合, 要留意不同任務的激勵是互相加成或是互相抵消
• 也有可能是不同受雇者的激勵互相抵銷
• 多受雇者的場合, 可以受雇者之間的優劣做為績效
• 金錢的激勵是外在的, 現實場合要多留意內在的激勵效果
• 當工作有報酬, 受雇者想的是數字和最佳化
• 當工作沒有報酬, 受雇者想的也許是義務和慈善
• 如何計算激勵
• 先計算薪資期望值
• 接著計算激勵報酬差, 這應當讓受雇者願意努力工作
• 已知報酬差, 調整基本薪資讓薪資期望值符合需求